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连续介质力学框架

从张量与微分几何出发，系统整理连续介质的运动学、守恒律、热力学约束、本构关系、内变量和材料客观性。

33 分钟阅读#连续介质力学 · #张量 · #微分几何 · #本构关系
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课程总结

本篇总结旨在从自己的角度重新认知连续介质力学框架。基于张量、微分几何的连续介质力学虽然和基于变形梯度概念的连续介质力学相互等价，但是在研究角度和认知方法上确实有很大的区别，于是我想通过微分几何的观点撰写了此篇。全文从运动学和平衡律出发，最后落到本构关系、内变量与客观性原理。

个人认为在连续介质力学中过度依赖变形梯度，虽然便于计算，但不利于概念的形成。适当的采用微分几何中的观点去阐释其中的一些概念，可能会更明确一点。另外，虽然张量的实体形式能够表示大部分运算关系，但很容易丢失一些信息，适当的采取实体形式和指标形式的对照可能也会有所帮助。

基于张量、微分几何的连续介质力学框架的主要改进

改进一：从基矢量的变化考察变形

微分几何中，直接利用线元长度的计算公式：

直接导出应变张量:

并且基于度量张量的对称性直接阐明了应变的对称性。

改进二：从基矢量的物质导数区分Euler、Lagrange观点

在之前的教学中对于Lagrange基矢量的物质导数缺乏详细的表述，但实际上此概念非常重要。Lagrange基矢量的物质导数由速度梯度决定，并由此可以直接导出应变率。

我们知道，Green应变张量的率并不直接等于当前构型中的空间应变率张量。如果借由Lagrange构型度量张量的概念就很容易发现，Green应变张量就是当前构型度量张量和初始构型度量张量之差的二分之一，它的率就是度量张量率的二分之一，并且恰好是空间应变率向物质构型的拉回。这样就很好地统一了这个问题。

另外，讨论Lagrange基矢量还有一个好处，那就是可以统一地理解Green—Lagrange应变张量和Euler—Almansi应变张量：二者分别在参考构型和当前构型中描述同一个线元长度变化，并通过变形映射的拉回与推前相互联系。

而且，在后续将会看到，Lagrange基矢量的物质导数由速度梯度决定；固定Euler曲线座标的基矢量本身不随时间变化，但物质点迁移到相邻空间位置时会通过空间联络感受到基矢量变化。这也很好地区分了“随物质运动的”座标系和“固定在空间中的”座标系。

第一章 连续介质的建模方法

连续介质力学研究的基本方法

在理论力学中，通常使用质点系去描述一个力学系统。对于一个“已知受力求解运动规律”的典型正问题，其过程经历了如下几个步骤：

  • 标识质点系中的所有质点（标记质点的方法）。
  • 给所有质点赋予相应的质量
  • 对全部质点进行受力分析，利用牛顿第二定律建立相应的方程。

注释：第三步骤可以通过其他手段列出相应的等价方程。例如D’Alembert原理、Lagrange方程亦或者Hamilton变分方程等等。但总而言之，要么知晓全部质点的受力状态，要么知晓全部质点的运动规律，亦或者给出其他封闭的方程组。

对于连续介质力学问题，依然要经历这三个过程。但不同之处在于，连续介质体是连续的，拥有无穷多个质点 (拥有连续统的基)。另外，想要知晓全部物质点的受力情况几乎是不可能的。

因此对于连续介质问题需要一些额外的手段进行解决，目前的方法是：

  • 利用Lagrange座标对物质点进行标识。
  • 利用密度而非质量给物质点赋予质量。
  • 利用本构关系描述物质点之间的相互作用。
  • 利用有限物质体上的质量、线动量、角动量与能量平衡方程，再结合本构关系建立封闭的微分方程组或者积分方程组。

注释1： 事实上，密度也可以形容集中质量，通过函数。这是广义函数（或者叫Distribution）在物理问题上的其中一个重要应用，通过这种方法可以将离散问题也转变为连续问题进行研究。

注释2： 在保守系统或广义标准材料等适当框架下，动量方程和部分本构关系可以通过能量与耗散势的变分给出。一般而言，宏观运动能量的变分与动量方程有关，内能或自由能的变分则表征物质点相互作用的规律。能量方法研究连续介质问题的代表之一就是固体本构理论中的“内变量”框架。

下面将详细讲解现代连续介质力学是如何通过Lagrange标架去描述物质点以及物质点的运动。

物质点的标识：Lagrange座标。

对于连续介质体，每一个质点可以通过其在某一参考时刻的座标确定。这个时刻可以任意选取，相应构型称为参考构型；参考构型不必均匀、无应力或无变形。在参考时刻，相应物质点的座标称为Lagrange座标，用符号标识。

【符号约定：】对于初始状态的物理量，通常用”o”数学重音标识。例如表示相应物质点在初始状态下的位置向量. 对于当前构型, 则用上标^表示: .

这样，在任何一个时刻都可以根据Lagrange座标来确定相应的位置，也就是建立了一个运动映射：

例子：某一个班级中有m行，n列学生。在第一节课时，小明坐在第i行第j列，在第四节课的时候他到了第r行s列。此时，“第四节课坐在第r行s列的学生是小明”这句论断，等价于“第四节课坐在r行s列的学生是 第一节课坐在第i行第j列的学生 ”。后者就是lagrange座标的使用

【注释：关于参考构型】若材料存在一个无应力的自然构型，把它选作参考构型通常最方便，但这并不是理论的必要条件。参考构型可以带有初应力，也可以用曲线座标描述。曲线座标变换下的协变性和观察者变换下的客观性是两个不同的问题，后续在客观性原理当中会重谈这个区别。

连续介质运动的刻画方法：Euler和Lagrange描述

Lagrange描述

Lagrange座标使得追踪每一个物质点的运动成为可能。通过刻画每一个物质点运动的变化规律知晓连续介质的整体运动规律的方式称为Lagrange观点。

由于这种描述始终追踪同一批物质点，所以对固体、大变形和历史相关材料尤其自然。质量、动量和能量平衡既可以在Lagrange观点下建立，也可以在Euler观点下建立。

Euler观点

Euler观点则是直接记录空间各点在不同时刻的物理量。就如同拍摄电影的过程，Euler过程拍摄每个时刻下的图片再将其连续播放出来，同样能够给出连续介质体完整的运动信息。

Euler观点同样可以直接建立控制方程，并且在大部分流体工程问题中更加有用。例如对于飞机空气动力研究，通常只关注机翼附近的压强分布，这就适合用Euler观点进行描述。

两种描述的等价转换。

对于同一个物理量，在Lagrange观点下它是物质点（Lagrange座标）和时间的函数：

在Euler观点下，它是空间座标与时间的函数：

假如物质点在时刻恰好处于的位置，那么此时应当有：

这样，为了把Lagrange观点和Euler观点下的物理量描述对应起来，实际上需要做的是：

  • Euler观点Lagrange观点，对于时刻空间位置为的点，找到相应的物质点。
  • Lagrange观点Euler观点，对于物质点，找到其在t时刻的空间位置

全局转换要求运动映射在所研究的物质域上一一对应；局部方程则至少要求它局部可逆。这样我们就能够借助及其逆映射建立Euler和Lagrange观点下的转换关系。

stateDiagram
Lagrange座标 --> 物理量
Euler座标 --> 物理量
Lagrange座标 --> Euler座标
Euler座标 --> Lagrange座标

这样，建立在Lagrange坐标下的控制方程就可以转换为当前空间坐标的形式，对于工程问题也可以直接求解Euler观点下的控制方程从而得到结果。

值得一提的是，经典连续介质运动通常假设足够光滑、局部一一对应且。水柱断裂成液滴等拓扑变化无法由一个全局微分同胚覆盖，需要分片描述、自由界面或断裂理论；稀薄气体则可能直接超出连续介质假设。湍流本身并不必然破坏局部可微性，但其解的正则性需要另行讨论。

第二章 物理量随物质点运动的变化

为了建立质点的动力学方程，必须要能够刻画该物质点的物理量随着时间的变化情况。连续介质力学中，将某一物质点处的物理量随时间变化的导数，称作物质导数，下文也用上点表示。

对于Euler坐标系下的标量场，沿着物质点轨迹有：

这可以理解为在内，时间发生改变，同时物质点从运动到。对于矢量场和张量场，沿轨迹求导的思想相同，但在曲线座标下还必须把基矢量的变化计入协变导数。

【注释：物质导数与全导数】 物质导数在数学上正是Euler场拉回到物质点轨迹以后对时间所取的全导数；“物质”二字赋予了这个全导数明确的物理对象。若所取路径不是物质点轨迹，其全导数当然不再是物质导数。

连续介质体的变形：Lagrange基矢量的物质导数。

连续体的变形

在经典光滑运动的假设下，连续介质体在不同时刻形成局部微分同构的几何体。每一个当前构型都可以通过物质座标进行参数化，相应的切基矢量就是Lagrange基矢量。

如果考察某一个物质线元，在参考构型下有。经过一段时间演变到当前构型时，该物质点及其邻域物质点的Lagrange座标差不变，于是几何体的整体改变就可以由Lagrange基矢量的变化表示：。

这样，衡量物质线元的长度变化就异常简单：

因此Green—Lagrange应变张量在物质基下的协变分量为

而且它的对称性直接来自度量张量的对称性。

因此，只要能够计算Lagrange基矢量的物质导数，就能够对各种物质线元、物质面元、物质体元进行研究。

Lagrange基矢量的物质导数

详见 黄克智 《张量分析》6.3.1

当前构型下Lagrange基矢量定义为

由于Lagrange座标和时间是相互独立的变量，并假设运动映射足够光滑，空间导数和时间导数可以交换。令速度梯度为，则

通过上式可以直观地看出Lagrange基矢量的变化由速度梯度直接决定。再令空间应变率张量与自旋张量分别为

就可以得到度量张量及Green—Lagrange应变张量的率：

所以是当前构型中的空间应变率，而是它向参考构型的拉回；二者携带同一局部伸缩信息，但不是同一个构型中的张量。

个人认为通过基矢量的物质导数去认知应变张量和应变率张量是最为自然、简单的方式。过度依赖变形梯度会导致许多本来对称性良好、物理意义清晰的方程变得异常复杂与丑陋（当然变形梯度在数值计算中非常好用） 。

Euler基矢量的物质导数，两种物质导数之间的区别

固定Euler曲线座标的基矢量仅仅是空间位置的函数。把它沿物质点轨迹写作

则它的物质导数为

由此可见，Euler基矢量沿轨迹的变化来自物质点在曲线座标网格中的迁移，并由速度和空间联络共同决定；固定空间点上的基矢量本身没有显式时间变化。当Euler座标为仿射座标系时，，Euler基矢量的物质导数恒等于0。

下面两张图展示了Euler和Lagrange基矢量物质导数的不同点:

graph LR
物质点位移 --> 物质点附近空间畸变
物质点附近空间畸变 --> lagrange基矢量变化
graph LR
物质点位移 --> 物质点绝对位置改变
物质点绝对位置改变 --> Euler基矢量变化

最基本的物质量：线元、面元、体元的物质导数

物质线元的物质导数

很显然，线元的物质导数其实就是Lagrange基矢量的物质导数。由于对同一对物质点保持不变，所以

物质面元的物质导数

面元可以通过两个线元的叉乘进行表示，叉积得到的矢量的方向为面元外法线方向，大小为面元的面积。

其物质导数为

这就是面元的输运公式。进一步分离方向和大小还可以得到

物质体元的物质导数

物质体元可以表示为三个物质线元的混合积（按右手系定向，否则会得到有向负体积）：

其物质导数为

可见速度场的散度表征了单位物质体元的体积变化率。

由此可见，这些基本几何量随时间的变化都由速度梯度及其迹决定。以上均为张量形式；在曲线座标下把普通分量导数换成协变导数以后仍然成立。

矢量场函数的物质导数

Lagrange坐标中矢量场函数的物质导数

Lagrange坐标中的矢量场函数记作

利用Lagrange基矢量的物质导数，可以很容易写出矢量场函数的物质导数：

这里表示固定物质座标时分量的导数。进一步将速度梯度分解为对称部和反对称部：

再带回到原式中，会得到一个物理意义更加明确的表达式：

其中是反对称张量所对应的轴向矢量。

【注释】 在三维空间中，对任何反对称二阶张量都存在唯一的轴向矢量，使得张量对任意矢量的作用等于该轴向矢量与之叉乘。该轴向矢量本身处在反对称张量的核（Kernel）当中。

由上式可以看出，向量场函数的物质导数由三部分组成：

  • 基矢量不变时矢量分量随时间的变化。
  • 由介质变形引起的矢量变化。
  • 由介质微元旋转引起的矢量变化。

Euler坐标中向量场函数的物质导数

经过Lagrange座标转化后，矢量在Euler坐标中表示为

其物质导数求法也是求各自的导数，这里不再详细写出步骤：

这三项的物理含义分别为：

  • 第一项是局部导数，它是观察者在固定空间点位处观测到矢量分量的变化速率。
  • 第二项称作对流导数，反映了运动质点迁移到相邻空间位置时，矢量分量的变化速率。
  • 第三项是运动质点迁移到相邻空间点位置，基矢量所发生的变化。

【注释：要对完整矢量求导】 在正交笛卡尔座标中克里斯托弗符号恒等于0，第三项自然消失，此时“局部导数加对流导数”就是完整结果。在一般曲线座标中，前两项单独并不是矢量分量，必须连同第三项组成协变导数，方能保证座标变换下的形式不变性。

张量场函数在物质域积分的物质导数

单个几何点不携带有限质量，连续体的质量等广延量必须由密度在有限物质体上积分得到。因此必须研究物质域上积分随时间的变化，也就是物质域积分的物质导数。

物质域上的积分的最大不同之处在于，由于连续介质的运动，每一时刻物质微团所处的空间位置和几何形状都有所不同。这导致积分域会随着时间改变。

这里先对标量场推导；矢量场和张量场可按分量作同样推广。

Lagrange观点下物质域积分的物质导数

先给出积分的表达式：

Lagrange观点下，固定的是物质座标所表示的参考域；它在当前空间中的像仍会改变。把当前体积元的变化计入以后，可以得到物质域积分的物质导数：

Euler坐标下物质域积分的物质导数

Euler坐标下，物质域会随着时间改变。假设物质微团在时刻所占有的体积为，边界为，在时刻体积变为，考察其积分的变化：

时刻的物质微团构型可以认为从时刻演化而来，它由两部分构成：

  • 原有的空间
  • 由于表面物质点运动引起的体积变化，其有向厚度为

这样，第一项的积分就可以拆成两项：

此处代表的边界。将这个结果带入回去进行整理。

很容易看出，上式第一项就是物理量在Euler坐标系下的 局部导数 在前一时刻物质构型的积分。第二项是几何构型改变引起的变化，利用张量形式下推广的Gaussian积分公式(也可以叫Green公式)就可以得到第二项为：

【注释：导数类型的选择】 上式第一项在固定空间域上比较两个时刻，所以出现的是局部导数；物质点的迁移所造成的变化已经由第二个边界通量积分负责。

再把它带回到原来的式子中，就可以得到：

如此一来会发现不论是Euler座标下还是Lagrange座标下，物理量在物质域上的积分的物质导数的形式完全一致，这极大地便利了后续的计算。

第三章 连续介质力学动力学方程

质量守恒方程

质量守恒方程指的是对任何物质域，质量都不随时间变化：

根据物质域的任意性，积分号内部的表达式恒等于0，很容易得到质量守恒方程:

在Euler座标下：

连续介质的动量方程

根据物质导数的物理意义，动量方程表示为：“物质体的动量变化率等于物质体所受外力”。

在经典Cauchy连续体中，外力主要分为体积力和面力。令表示单位质量的体积力，表示法向为的截面上的面力密度。前者可以包括重力、电磁作用力等；若在非惯性系中写方程，也可以把惯性力并入。

由Cauchy应力定理，在面力只依赖位置、时间和截面法向等经典假设下，对是线性的，因此存在二阶张量使得

注释【关于应力：】 应力是微观相互作用在连续尺度上的等效描述。“面力关于法向线性”不是纯数学事实，而是局部动量平衡、面力有界性等连续体假设的结果；在这些假设下，应力张量的存在可以由Cauchy四面体论证推出。

这样，动量方程可以写为：

在左端应用连续性方程，右端应用Green积分公式将应力在封闭曲面上的积分转换到封闭体积上，就得到了

这样，就得到了微分形式下的动量方程:

对于Euler座标，此方程仍然成立，只要把物质加速度写作；在曲线座标下其中的空间导数应理解为协变导数。

连续介质的动量矩方程与经典框架下应力张量的对称性

动量矩平衡是独立于线动量平衡的另一条平衡律。在经典Cauchy连续体中，假设不存在体力偶、面力偶和独立的内禀角动量，则对任意物质域有

因为且，左端可以化为。右端的面积分利用Gauss公式展开；用指标形式写得最清楚：

这里第二项不能直接忽略。把线动量方程

代入动量矩平衡以后，所有含的项恰好相互抵消，剩下

由于物质域任意，故

这就是经典Cauchy连续体中应力对称性的由来。它并不是从线动量平衡自动得到的，而是角动量平衡在“没有偶应力和独立微旋转”这一模型假设下给出的约束。

[注释：内禀力矩] 原先推导中感觉别扭的地方，正是把含的一项无依据地略去了。它实际上应当利用线动量方程消去。若介质具有不可忽略的微观转动、体力偶或面力偶，例如Cosserat或微极连续体，则角动量平衡还会包含内禀角动量和偶应力，此时Cauchy应力不必对称，其反对称部由这些附加量来平衡。

第四章 能量守恒与热力学限制

上一章给出的平衡方程只说明了质量、动量和动量矩如何守恒，并没有给出应力、热流与变形、温度之间的关系。为了得到封闭的方程组，还必须研究能量平衡和熵不等式对本构关系施加的限制。

连续介质宏观动能的物质导数

在研究总能之前先来看看物质体的宏观动能如何变化：

将动量方程带入，则可以得到:

连续介质的能量分类

连续介质力学通常把物质体的总能分为宏观动能和内能。令表示单位质量内能，则

令表示以外法线为正方向的热流矢量，表示单位质量、单位时间的体热源。热力学第一定律给出总能量平衡：

右端四项分别为应力功率、体积力功率、从边界流入的净热量以及体热源。由于表示热量向物质体外流出，所以边界热流项前带负号。

为了从总能中分离宏观动能，注意到应力功率满足

最后一步使用了经典Cauchy应力的对称性，因为对称张量与反对称张量的双点积为0。结合动量方程并从总能量平衡中减去宏观动能平衡，就得到内能的积分形式：

根据物质域的任意性，它的局部形式为

注意，若介质存在偶应力、独立微旋转或其他附加自由度，应力功率一般不能只写成，能量平衡中还要加入相应的广义力与广义速度的功率共轭项。

仅仅给出内能并不足以保证方程组封闭；还需要为应力、热流、熵以及可能存在的内部变量给出本构关系，并配合适当的初始条件与边界条件。热力学第二定律会限制这些本构关系，但通常不会把它们唯一确定下来。

【注释：内能的局部与非局部特性】 对简单材料，物质微元的能量常被近似为局部状态变量的函数；梯度材料、相场模型、铁磁材料或多场耦合材料则可能需要引入状态变量的梯度或显式非局部作用。此时能量平衡和边界条件也要相应扩充。

能量的流动方向：热力学第二定律

能量满足平衡，而不可逆过程的方向还受到熵不等式限制。孤立系统的总熵单调不减；一个能够同外界交换热量的物质体，其自身熵却不必单调增加，因为还要计入由边界热流和体热源带来的熵供给。

令表示单位质量熵，表示绝对温度，则物质体的熵为

Clausius—Duhem不等式写作

可逆过程取等号，不可逆过程的差额就是物质体内部产生的熵。引入单位质量熵生成率以后，可以把局部不等式等价地写成

把散度项展开，再利用内能方程消去，得到

其中

是单位质量Helmholtz自由能。最后一个不等式称为约化的Clausius—Duhem不等式，它是下一章约束本构关系的主要工具。

对于Fourier热传导定律

只要导热张量的对称部半正定，就有

因此热流总体上与温度梯度方向相反。需要注意的是，第二定律只要求总熵生成率非负；把机械耗散、热传导耗散等每一部分分别要求为非负，是对无耦合本构模型常用而更强的假设，并非第二定律本身的普遍结论。

第五章 本构关系与内变量框架

前面的质量、动量、动量矩、能量平衡以及熵不等式对所有经典连续介质都成立，它们并不能区分钢、水、橡胶或者空气。真正区分不同材料的，是应力、热流、自由能等物理量如何依赖于运动和温度，这些关系统称为本构关系。

本构关系为什么是方程组封闭所必需的

以最简单的热-力耦合连续体为例，待求场中除了密度、速度和温度以外，还有应力、热流、内能和熵。质量、动量和能量平衡只提供五个标量方程，熵不等式又只是一条限制而不是新的演化方程。因此还需要给出类似

运动、温度及其历史温度及其梯度、历史状态变量

的材料关系，方程组才可能封闭。

“依赖哪些变量”本身就是建模假设。弹性材料的当前应力可以只依赖当前变形和温度；粘弹性、塑性等材料具有记忆性，当前应力还依赖过去的加载过程。历史依赖既可以直接写成时间泛函，也可以用有限个内部变量把有关历史压缩成当前状态。

一个可以接受的本构关系通常至少要满足：

  • 因果性：当前响应不能依赖未来历史。
  • 热力学相容性：任何允许过程都要满足Clausius—Duhem不等式。
  • 客观性：材料响应不依赖观察者叠加的刚体运动。
  • 材料对称性：本构关系应反映材料真实的各向同性、正交各向异性等结构。

其中热力学相容性在本章讨论，客观性和材料对称性留到下一章。

自由能对本构关系的限制

先考察没有内部变量的热弹性材料。令变形梯度为，右Cauchy—Green张量为，并假设单位质量自由能只依赖和温度：

之所以选取而不是直接选取，将在客观性原理中说明。它的物质导数为

带入约化的Clausius—Duhem不等式，可得

对于无机械耗散的热弹性材料，和在一点处可以独立取值。为了让不等式对所有允许过程都成立，必须有

或等价地，用第二Piola—Kirchhoff应力表示为

这说明自由能既是弹性应力的势，也是熵的势。对于不可压缩材料，还要在应力中加入约束反力；其中是由不可压缩条件和边界条件确定的Lagrange乘子，并不能由自由能直接确定。

此时剩余耗散只来自热传导：

最常用的选择就是Fourier定律，其中的对称部半正定。

【注释：第二定律能做什么】 第二定律能够排除产生负总耗散的本构形式，却一般不能唯一给出材料响应。自由能函数、导热系数、弹性常数、粘性参数等仍要由微观理论、实验或数据辨识确定。

几个常见本构关系

可压缩无粘流体

对于各向同性的可压缩无粘流体，可以取

利用质量守恒并代入耗散不等式，就得到

具体的或等价的就是状态方程；理想气体定律是其中一个特殊模型。

Newton流体

粘性流体的应力还依赖应变率。把分解为偏量和体积部分，最一般的各向同性线性Newton模型可以写为

粘性耗散为

所以热力学相容性要求剪切粘度、体积粘度。

小变形弹性固体

小变形下令。若单位质量自由能取二次型

其中小变形下近似取。于是应力为

各向同性材料的四阶弹性张量只含两个独立常数，这就回到了熟悉的Hooke定律。

内变量框架

真实材料的宏观状态常常不能仅由变形和温度确定。例如，同样的总应变和温度下，经历过不同加载路径的金属可能具有不同应力。为了描述这种“当前可见量相同、内部状态不同”的现象，可以引入塑性应变、硬化量、损伤、相分数等内部变量，统一记作。

假设已经选成客观的标量、参考构型张量或具有明确客观变换规则的空间张量，并令自由能为

并把应力分为能量储存部分和耗散部分：

再定义内部变量的热力学共轭力

则Clausius—Duhem不等式化为

其中表示与内部变量阶数相适应的完全缩并。这一式子把机械耗散、内部变量演化和热传导统一到同一个框架中。

在小变形弹塑性中更常用加法分解

取

以后，机械耗散变成

这就是塑性流动、硬化和损伤演化方程必须满足的基本限制。

内变量的演化规律

仅仅引入内部变量还不够，还需要给出它们的演化方程。一个常用方法是引入非负、凸的耗散势，令

在适当的凸性和归一化条件下，这样构造的演化律自动满足非负耗散。线性粘性、粘弹性和一部分粘塑性模型都可以这样写。

对于率无关塑性，耗散势通常不是光滑函数，而以屈服函数描述弹性域。关联流动法则写作

并满足Kuhn—Tucker条件

这三条分别说明塑性乘子不能为负、应力状态不能跑出屈服面，以及只有到达屈服面时才可能发生塑性流动。

内变量框架并不限于塑性。例如：

  • 粘弹性可以把粘性应变作为内部变量，其演化速度与相应热力学力同向。
  • 损伤模型可以用表示材料退化，并要求不可逆条件。
  • 相变模型可以用相分数作内部变量，化学势差成为其共轭驱动力。

因此内变量的基本思路可以总结为：自由能描述“能够储存多少”，耗散势或演化方程描述“内部状态怎样改变”，Clausius—Duhem不等式负责检查这两部分组合以后是否违反热力学第二定律。

封闭方程组还需要什么

给定具体材料以后，一个典型热力学初边值问题至少需要：

  • 质量、线动量和能量平衡方程。
  • 应力、热流、自由能及内部变量演化的本构方程。
  • 位移或力边界条件、温度或热流边界条件。
  • 速度、温度和内部变量的初始条件。

方程数目相等只是封闭的必要条件，并不自动保证解存在、唯一或稳定。本构函数的正则性、自由能的凸性或多凸性、耗散算子的单调性以及边界条件的相容性都会影响问题是否适定。

第六章 客观性原理

客观性原理要回答的问题是：同一场物理过程被不同观察者描述时，本构关系是否仍然代表同一种材料。观察者可以改变原点，也可以随时间转动座标架；这些改变不应凭空改变材料内部储存的能量、产生新的应变或改变材料参数。

观察者的变换

考察两个观察者之间随时间变化的刚体变换

其中表示平移，表示转动。星号表示新观察者测得的量。

温度、密度、内能和熵等客观标量在同一物质点上取值不变：

对于不含观察者自身运动的客观空间矢量和二阶张量，变换规则分别为

例如热流和Cauchy应力应满足

速度不是客观矢量。沿物质点轨迹对观察者变换求导可得

其中前两项来自新观察者自身的平移和转动。再次求导还有

所以在任意加速、转动观察者之间，动量方程只有把相应惯性力并入体积力后才保持同样形式；不加入惯性力时，Newton定律只在彼此相差固定转动和匀速平移的惯性系之间保持同样形式。客观性原理主要约束的是材料本构响应，而不是声称所有动力学量在任意观察者下数值不变。

运动学量的变换

参考构型保持不变时，变形梯度及其行列式满足

因此左右Cauchy—Green张量分别变换为

是定义在参考构型上的客观张量，其分量对叠加空间刚体转动保持不变；是定义在当前构型上的客观空间张量，随观察者的基一起转动。

令

速度梯度的变换为

将其分成对称部和反对称部以后有

这说明空间应变率是客观张量，而自旋不是，因为后者必然包含观察者自身的转动。

温度梯度满足

因此Fourier定律若要客观，导热张量必须按变换。

材料客观性对本构方程的要求

材料客观性也叫材料标架无关性。它要求：给一个实际运动叠加任意随时间变化的刚体运动后，标量响应保持不变，空间矢量和空间张量响应只作相应的刚体转动。

例如，若应力本构写成

则客观性要求对任意有

这里表示其他自变量也必须先按各自规则变换，不能只转动结果而遗漏输入量。

对于标量自由能，客观性要求

因为消去了左侧的空间刚体转动，所以这一条件等价于把自由能约化为

这正是上一章热弹性推导选取作为状态变量的原因。相同地，Green—Lagrange应变

是客观的参考构型应变；Euler—Almansi应变

则按作客观空间变换。

一个最直接的检查办法是给运动叠加纯刚体运动。若

则、并且，虽然和一般不为零。若一个无初应力材料的本构方程在这种运动下预测出弹性应变或粘性应力，它就违反了客观性。

为什么普通应力率不客观

即使本身是客观空间张量，它的普通物质导数通常也不是客观张量。由

求导可得

后面两项来自观察者转动，不能忽略。因此在有限变形的率型本构关系中，不能简单写并认为它自动客观。

一种常用的客观率是Jaumann率：

直接代入前面的变换规则可以验证

除此以外还有上随体率和下随体率，例如

这些客观率对应不同的推前、拉回和功率共轭关系，并不能仅凭“都客观”就任意互换。选择哪一种率，应当同张量的几何性质、能量结构和具体材料模型保持一致。

客观性、材料对称性和座标协变性的区别

这三个概念很容易混在一起：

  • 客观性比较的是不同观察者对同一过程的描述。它对应当前空间左侧叠加的刚体转动。
  • 材料对称性比较的是参考构型中不同材料方向的响应。若保持材料微结构不变，则要求。各向同性材料对所有都满足这一条件；正交各向异性材料只对有限的对称群满足。
  • 座标协变性只是用不同座标参数描述同一个几何对象。一般曲线座标下出现Christoffel符号，正是为了让导数后的对象仍按张量规则变换。它不等价于材料客观性。

客观性只能消去观察者带来的虚假方向依赖，不能把真实的材料各向异性消掉。例如纤维增强材料可以完全客观，同时仍然对纤维方向和横向给出不同响应；只要明确纤维方向定义在参考构型还是当前构型，并让相应结构张量按正确规则变换即可。

本构建模时的客观性检查

实际建立本构模型时，可以按以下顺序检查：

  • 先明确每一个状态变量定义在参考构型还是当前构型，以及它在观察者变换下怎样变化。
  • 自由能作为标量必须保持不变；常用、、温度和客观内部变量构造。
  • Cauchy应力、热流等输出必须按空间张量或矢量规则转动。
  • 率型模型必须使用与模型几何结构相容的客观率。
  • 最后把本构关系代回Clausius—Duhem不等式，检查总耗散非负。

至此，连续介质力学的基本框架可以概括为：运动映射给出几何和运动学；质量、动量、动量矩与能量平衡给出普适控制方程；熵不等式限制不可逆过程；本构关系和内部变量区分具体材料；客观性与材料对称性保证这些关系不依赖观察者，同时忠实保留材料本身的结构。