Willis 波动力学公式推导

第一部分：从坐标变换出发

虚拟空间与物理空间

变换弹性动力学比较两个区域：虚拟（参考）空间 与物理空间 ，其中 ，。虚拟空间中放置参数已知的经典弹性介质，物理空间中的等效介质则由映射产生；“虚拟”只是指计算参考域，并不要求它对应某个真实的无应力状态。

记虚拟空间坐标为 ，物理空间坐标为 。给定保向微分同胚

微分同胚要求映射及其逆映射均可微，而不只是“可微且一一对应”。

客观性与坐标协变性的区别

客观性（标架无关性）通常指物理定律在叠加刚体运动下不变；它不等同于任意空间微分同胚下的形式不变性。若只是把同一物理问题改写到曲线坐标中，并使用协变导数，经典弹性方程本来就是坐标协变的。

这里研究的是变换弹性动力学：把 中的方程通过 推送到另一个欧氏区域 ，并仍用物理空间的普通笛卡尔偏导表示。此时还必须指定两个区域中位移场之间的“规范”（gauge）；不同规范会产生不同的等效介质。下面选择保持应力对称的规范，由此得到 Willis 型方程。

记号与原始方程

定义

以及映射的 Hessian

因此 、。以下 表示虚拟空间指标， 表示物理空间指标，并约定重复指标求和。两个空间都采用笛卡尔基，所以不再用指标的上下位置区分协变与逆变分量。

取时间因子 。虚拟空间中的位移记为 ，物理空间中的位移记为 。原始弹性方程为

其中

由于 具有小对称性，用位移梯度或对称应变写本构关系是等价的。

为了保持变换后应力的对称性，选择位移规范

对应的物理空间应力定义为 Piola 推送

这里的 来自体积元变换和散度的 Piola 变换，并不是“逆变分量换算为物理分量”的系数。

变换后的本构关系

由链式法则，

代入应力的定义可得

其中

以及

变换后的动量平衡

关键是使用 Piola 恒等式

于是

原推导中把

直接改写为

是不成立的，因为求导还会作用在 上。上面的 Piola 恒等式正是处理这些雅可比导数的正确方式。

再代入原始动量方程、位移规范和本构关系，得到

其中

以及

当 时，若要把零阶项 并入频率相关的等效密度，则必须定义

因此位移形式的控制方程为

原文把密度写成了“”，这既与上一行方程不等价，也量纲不一致；正确组合是 。

由 可知

文献也常把 Willis 方程写成

此时采用的是

两种写法完全等价，只是 的符号约定不同。若改用速度而不是位移写耦合项，在 约定下还需将上述 除以 。

两个快速自检

1. 恒等映射：、、。此时 ，且 、，恢复原方程。

2. 仿射映射： 为常量，因此 。耦合张量仍为零，而

   与标准的仿射变换结果一致。

一些解释

上面的 均指物理空间笛卡尔坐标下的普通偏导；推导没有把普通偏导误当作曲线坐标中的协变导数。若讨论的是同一欧氏空间中的被动曲线坐标变换，则应使用协变导数，Christoffel 项负责维持坐标协变性；那是另一个问题。

这里得到 Willis 耦合的关键并不是“客观性迫使方程改变”，而是非仿射空间映射、位移规范和用新介质在物理欧氏空间中复现原波场这三件事的组合。若选择其他位移规范，可以得到非对称应力的 Cosserat 型变换介质，而不一定得到上述 Willis 型参数。

保留两个小对称性与主对称性， 和 则按上式互相关联。三阶极张量在包含镜像的完全各向同性群 下必须为零，而 Levi-Civita 张量是伪张量；但“出现非零三阶耦合”本身并不足以证明材料具有手性，它也可能来自各向异性、非中心对称或空间色散。是否具有手性还需检查材料在不正交变换下的具体变换性质。

关于手性的内容后续再补充。

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第二部分：从扰动法得到 Willis 方程

扰动的对象

这一部分讨论的不是“小位移扰动”——线性弹性本身已经采用了小变形假设——而是材料参数相对于某个均匀参考介质的弱对比度扰动。目标是把微观非均匀性消去，得到平均场之间的动态本构关系。

考虑周期单胞 ；对于 Bloch 波，以下 指去掉 因子后的周期幅值，重建的平均场为 。对于随机统计均匀介质，也可以把以下单胞平均替换为系综平均。记

微观运动学、局部本构关系和动量平衡分别为

只要所选平均与微分可交换，就有精确的平均动量方程

因此，均匀化不会改变守恒律的形式；需要确定的是 、 与平均应变、平均速度之间的关系。

广义本构矩阵

把运动学量和动力学量分别组合为

局部本构关系可以写为

微观材料的本构矩阵是块对角的，因此局部应力不直接依赖速度，局部动量也不直接依赖应变。Willis 耦合将来自消去微观涨落的过程，而不是来自这个局部本构关系。

选择均匀参考介质

并引入无量纲的小参数 ：

为了简化展开，取

参数 只用于记录扰动阶数，最后可令 ；但这样做只有在级数收敛或被当作渐近展开使用时才有意义。

极化场与参考介质

定义广义极化场

其中

分别称作应力极化和动量极化。于是原介质可以等价地写成参考介质加极化源：

以下取时间因子 ，所以 。位移方程相应地变为

右端的两种极化通过同一个参考介质位移格林函数产生位移涨落。对位移再作空间梯度和时间导数，就得到应变、速度对两种极化的响应。

动态 Lippmann—Schwinger 方程

用 表示参考介质的动态格林算子，并去掉代表平均场的零 Fourier 模态，使

星号表示空间卷积；若回到时域，它同时还包含时间卷积。局部广义运动学场可以写成

这就是动态 Lippmann—Schwinger 表示。把 代入，得到极化积分方程

即

这里及下文的张量乘积均包含必要的指标缩并、卷积和算子复合。

只要相应的逆算子存在，

因此在固定平均方式和格林算子规范后，可以定义精确的有效本构算子

使得

这个“精确”是指没有截断极化积分方程； 一般仍是空间和时间上的非局域算子。

弱对比度展开

对逆算子作 Neumann 展开：

因为 ，平均极化的一阶项消失：

从而

这就是弱对比度下最关键的二阶结果。若参考介质没有取成平均介质，还需要保留一阶修正 。

二阶项如何生成 Willis 耦合

把格林算子按输入、输出场分块：

也就是

虽然 是块对角的， 却不是。矩阵相乘后，

因此二阶有效本构关系必然具有一般的块形式

各块在二阶近似下为

这里的并置仍表示卷积算子的复合。例如 不是三个同点函数的普通乘积。

于是得到标准 Willis 本构关系

对于互易、无耗散的微观介质，在这里采用的“应力—动量对 应变—速度”约定下，有算子意义上的关系

其中 同时包含指标转置、复共轭以及非局域核自变量的交换。负号来自速度在时间反演下变号。若改用其他状态向量或 Fourier 约定，这个负号可能被吸收到耦合张量的定义中。存在耗散时，应使用相应的因果伴随关系，不能简单地把它理解为同一点张量的普通转置。

为什么混合格林块通常不为零

在 Fourier 空间中，参考介质位移格林张量记作 。应变和速度由同一个位移产生：

其中

因此四个格林块的结构分别为

符号 在这里表示算子结构，具体的整体符号还取决于位移格林函数的定义；上式混合块之间的相对负号则来自动量平衡与速度定义，并与 的互易关系一致。

在一维中可以直接检查这个符号。令参考模量和密度为 ，并定义

对一个非零 Fourier 模态 ，参考方程给出的涨落场为

可见 而 。这也直接验证了两个互易耦合块之间的相对负号。分母 接近零时，参考格林函数变大，正是普通扰动展开可能失效的地方。

两个混合块都同时含有一个空间导数和一个时间导数，所以其 Fourier 核通常正比于 。这说明：

1. 静态极限 时，局部 Willis 耦合通常消失。

2. 耦合的最低非零阶是材料对比度的二阶，并同时涉及刚度涨落、密度涨落以及它们的空间相关性。

3. 即使微观密度是标量， 中的位移格林张量也会使 一般成为二阶张量。

对周期介质，把涨落展开成倒格矢 的 Fourier 级数，则二阶耦合具有示意形式

如果单胞具有反演对称性，在 且采用对称平均规范时， 与 对局域耦合的贡献通常两两抵消；非中心对称单胞或有限 Bloch 波数则一般允许非零耦合。这一消失结论只针对该规范下的局域部分，保留空间非局域项或更换平均规范后不必成立。因此，“存在非均匀性”并不自动意味着 。

非局域形式与局域近似

严格地说，有效参数是卷积核。在时空域中应写成

在 Fourier 空间中，卷积变成乘法：

只有在长波条件 下，并且所研究频段允许忽略高阶空间色散时，才可以近似取

从而得到空间局域、但通常仍具有强烈频率色散的 Willis 参数。靠近单胞共振或 Bloch 谱极点时，Neumann 展开可能失效；此时应保留完整逆算子，或采用数值动态均匀化，而不能继续依赖二阶 Born 近似。

与第一部分的连接

本节采用的是速度形式

在 约定下， 。定义位移形式的耦合张量

再利用 ，便得到

这与第一部分所得位移形式具有相同结构。区别在于：第一部分的耦合来自空间映射及位移规范，本节的耦合来自消去非均匀介质中的微观动力学自由度。

特别地，由 可知，对于第一部分那种局域且位移耦合系数为实数的情形， ，与第一部分采用的符号约定一致。

唯一性与适用范围

只用一支无源 Bloch 波不能唯一确定四个有效参数块，因为

并不是可以独立改变的宏观量。严格定义 时，需要固定平均规范，并在概念上允许独立的体力和本征应变源；否则不同的 、、 、 可能给出相同的自由波色散关系。

因此，本节推导的准确表述是：

• 极化积分方程说明精确动态均匀化具有 Willis 块结构，并且一般是时空非局域的；

• 二阶扰动式给出弱材料对比度下 Willis 耦合出现的最低阶机制；

• 局域 Willis 方程还需要长波近似、固定平均规范，并避开使参考格林算子或 Neumann 级数奇异的频率。

本节参考文献

1. J. R. Willis, Effective constitutive relations for waves in composites and metamaterials, Proceedings of the Royal Society A 467 (2011), 1865—1879.

2. J. R. Willis, The construction of effective relations for waves in a composite, Comptes Rendus Mécanique 340 (2012), 181—192.

3. S. Nemat-Nasser and A. Srivastava, Overall dynamic constitutive relations of layered elastic composites, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 59 (2011), 1953—1965.